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波動率和相關性估計:指數加權移動平均和GARCH模型

作者:弗朗西斯科-薩伊塔   出版社:機械工業出版社  和訊讀書
  要避免由於簡單移動平均導致的缺陷,最簡單的方法是對近期的數據賦予更高的權重。這是指數加權移動平均法(EWMA)背後的基本思想。根據n個收益率的樣本數據計算t時刻的波動率,計算方法是對在方差估計前第i天發生的收益,賦予的權重為λi-2,其中λ<1。因為上述公式是假設收益率均值為零,所以采用收益率平方的形式。λ被稱之為衰減因子。因為λ<1,所以越早的數據,其權重就越小。λ值越大,說明所估計的波動率對新信息的反應就越慢,前期衝擊的影響就越長久。相反,如果λ值越小,就意味著所估計的波動率對新信息的反應更加敏感,而對前期衝擊的"記憶"則更少,因為其權重會隨著新的數據進入樣本而迅速減小。如何選擇最佳的衰減因子則主要是依據經驗判斷。許多風險管理者在計算日收益波動率時使用λ=0.94,而在計算月波動率時則使用λ=0.97。JP摩根在1996年公布的RiskMetricsTM技術文檔中就是把這兩個λ值作為研究成果用於實證檢驗,雖然所采用的方法相對比較簡單。

  隨著觀測值在樣本期內所處的時間往後推移,指數加權移動平均法給它分配的權重也會相應下降,從而規避了簡單平均法在估計波動率時出現的回波效應。與此同時,指數加權平均法也降低了波動率估計值對樣本規模選擇的敏感性。在衰減因子λ的值等於0.94的情況下,如果風險管理者把樣本規模從250個增加1倍,到500個(相當於從1年擴展到2年),前面250個樣本的權重加起來也僅僅是0.00002%。

  運用EWMA估計的市場波動率並不是常數,這正是廣義自回歸條件異方差模型(GARCH模型)族的核心思想。在下文可以看到,EWMA屬於GARCH模型的一個特例。GARCH模型族假設收益率的條件方差不是常數,因此在不同的時間段裏,資產收益率的波動性可能會更高或者更低(即波動聚集性)。εi是在時刻i的預測誤差,即估計值和實際值之間的差距(因此,估計條件方差同樣要求估計一個條件均值,條件均值是通過自回歸模型AR(1)推導出來的yt+1=α+ρyt+ε式中,yt+1和yt分別代表在t+1和t時刻上的資產收益率;α和ρ是需要通過回歸進行估計的常數;ε是回歸方程的誤差項。見亞歷山大(Alexander,2001)。);α是回歸時要估計的參數,並且有α>0、α1,α2,…,αp≥0。從上式可知:顯著的預測誤差會導致所估計的方差變大;當然,同時還受到α參數值大小的影響。博勒斯洛夫(Bollerslev,1986)通過將時刻t的條件方差用t-1,t-2,…,t-n時刻的方差來表示,將恩格爾的ARCH模型進行了擴展。為了簡化,本文不分析這些擴展模型,有興趣的讀者可以參閱亞歷山大或者克裏斯多福森(Christoffersen,2003)。),其中α0=0,而α1+β1=1。當然,即便EWMA是GARCH模型的特例,但如果是在更長的期限內估計波動率,EWMA和一般的GARCH(1,1)模型還是有較大差別的。

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